Multi-scale Finite Element Method for incompressible flows in heterogeneous media : Implementation and Convergence analysis.
Méthode des éléments finis multi-échelles pour les écoulements incompressibles dans des milieux hétérogènes : Implémentation et Analyse de convergence.
Résumé
This thesis is concerned with the application of a Multi-scale Finite Element Method (MsFEM) to solve incompressible flow in multi-scale media. Indeed, simulating the flow in a multi-scale media with numerous obstacles, such as nuclear reactor cores, is a highly challenging endeavour. In order to accurately capture the finest scales of the flow, it is necessary to use a very fine mesh. However, this often leads to intractable simulations due to the lack of computational resources. To address this limitation, this thesis develops an enriched non-conforming MsFEM to solve viscous incompressible flows in heterogeneous media, based on the classical non-conforming Crouzeix--Raviart finite element method with high-order weighting functions. The MsFEM employs a coarse mesh on which new basis functions are defined. These functions are not the classical polynomial basis functions of finite elements, but rather solve fluid mechanics equations on the elements of the coarse mesh. These functions are themselves numerically approximated on a fine mesh, taking into account all the geometric details, which gives the multi-scale aspect of this method. A theoretical investigation of the proposed MsFEM is conducted at both the continuous and discrete levels. Firstly, the well-posedness of the discrete local problems involved in the MsFEM was demonstrated using new families of finite elements. To achieve this, a novel non-conforming finite element family in three dimensions on tetrahedra was developed. Furthermore, the first error estimate for the approximation of the Stokes problem in periodic perforated media using this MSFEM is derived, demonstrating its convergence. This is based on homogenization theory of the Stokes problem in periodic domains and on usual finite element theory. At the numerical level, the MsFEM to solve the Stokes and the Oseen problems in two and three dimensions is implemented in a massively parallel framework in FreeFEM. Furthermore, a methodology to solve the Navier–Stokes problem is provided.
Cette thèse porte sur l'application d'une méthode d'éléments finis multi-échelles (MsFEM) pour résoudre les écoulements incompressibles dans des milieux multi-échelles. En effet, la simulation de l'écoulement dans un milieu multi-échelle comportant de nombreux obstacles, tel que le cœur d'un réacteur nucléaire, est un défi de taille. Afin de capturer avec précision les échelles les plus fines de l'écoulement, il est nécessaire d'utiliser un maillage très fin. Cependant, cela conduit souvent à des simulations difficiles à réaliser en raison du manque de ressources informatiques. Pour remédier à cette limitation, cette thèse développe une MsFEM non-conforme enrichie pour résoudre les écoulements visqueux incompressibles dans des milieux hétérogènes, basée sur la méthode classique des éléments finis non conformes de Crouzeix--Raviart avec des fonctions de poids d'ordre élevé. La MsFEM utilise un maillage grossier sur lequel de nouvelles fonctions de base sont définies. Ces fonctions ne sont pas les fonctions de base polynomiales classiques des éléments finis, mais résolvent les équations de la mécanique des fluides sur les éléments du maillage grossier. Ces fonctions sont elles-mêmes approximées numériquement sur un maillage fin, en tenant compte de tous les détails géométriques, ce qui confère à cette méthode son aspect multi-échelle. Une étude théorique de la MsFEM proposée est menée aux niveaux continu et discret. Tout d'abord, le caractère bien posé des problèmes locaux discrets impliqués dans la MsFEM a été démontré à l'aide de nouvelles familles d'éléments finis. Pour ce faire, une nouvelle famille d'éléments finis non conformes en trois dimensions sur les tétraèdres a été développée. En outre, la première estimation d'erreur pour l'approximation du problème de Stokes dans des milieux perforés périodiques à l'aide de cette MSFEM est établie, démontrant sa convergence. Cette estimation est basée sur la théorie de l'homogénéisation du problème de Stokes dans les domaines périodiques et sur la théorie usuelle des éléments finis. Au niveau numérique, la MsFEM pour résoudre les problèmes de Stokes et d'Oseen en deux et trois dimensions a été implémenté dans un cadre massivement parallèle dans FreeFEM. En outre, une méthodologie pour résoudre le problème de Navier-Stokes est fournie.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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